Плетение цветочного кулона

На самом деле его сделать абсолютно не сложно, от вас только потребуется энтузиазм и немного вашего времени.

Для его изготовления вам понадобятся некоторые материалы, а именно:

• Иголка с крючком для плетения бисера
• Прочная нить, круглогубцы и небольшие ножницы
• Понравившейся вам бисера
• Штиф с застёжкой

Сначала вам нужно будет сплести 6 жгутов, каждый должен иметь протяжённость 10-15 сантиметров. Их нужно сделать полустолбиками, которые будут иметь по 5-6 маленьких бисеринок.

Далее вы начинаете формировать самый первый лепесток цветка. Если вы хотите сделать объёмный кулон из бисера, то вместо 6 бисеринок вставьте 10-12 штук. Согните жгутик пополам и сделайте проколом штифом.

Потом формируйте следующие лепестки. После того как будет сформировано 5 лепестков сделайте подвеску из бисера. Переплетите несколько проволок ниткой, добавьте пару бисеринок для украшения и подвеска готова.

Проявив свою креативность и фантазию, вы сделаете кулон из бисера своими руками, который потом можно оставить себе или подарить дорогому человеку.

Ведь недаром говорят «лучший подарок это тот, который сделан своими руками». А подарок, сделанный с любовью и нежностью, запоминается и остаётся с человеком на всю жизнь.

Кулон «Веер»

Существует множество вариаций его плетения, мы вам расскажем и проведём небольшой мастер-класс изготовление кулона из бисера. Сначала приготовьте все необходимые предметы и инструментарий.

Начните оплетать риволи. Наберите при помощи иголки 41 светлую бисерину и сделайте из неё замкнутый круг. Далее плетите мозаичные полосы и добавьте штук 10 бисера синего цвета, он придаст немного холода и грации в кулон.

Затем вы должны сделать 3 круговые полоски при помощи известной техники Шнебля и пришивайте их друг к другу. После всех проделанных манипуляций, которые описаны выше, у вас получится замечательной кулон.

Схемы плетения кулона из бисера другим стилем, вы сможете найти в обучающих видео в интернете или в тематических журналах по рукоделию.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Работа с кулоном для начинающих

Его сможет сделать абсолютно неподготовленный человек, который ранее не имел никакого дела с бисерными украшениями и вязанием. Сделанное украшение можно будет носить на цепочке или тоненькой ленточки в зависимости от вашего пожелания.

Для его изготовления вам понадобятся следующие материалы:

• Бисер любого цвета и диаметром не более 2,2 мм
• Большая иголка
• Бисер под названием супердуо в количестве 15 штук
• Небольшие ножницы
• Плотная проволока

Сформируйте кольца из проволоки и начинайте оформлять его бисером, путём нанизывания на него непосредственно бисеринок.

После того как кольцо будет полностью покрыто бисером, возьмите цветную красивую ленточку и обвяжите её вокруг кольца. Ваш кулон готов и его можно использовать в качестве аксессуара.

Крест сделанный из бисера

Его также сделать не составит никакого труда. Вам понадобятся такие же материалы, как и в предыдущей работе.

Сделайте из проволоки крест и оставьте небольшое отверстие, чтобы через него мог проходить бисер. Нанизывайте бисер, а потом сделай подвеску из цепочки или цветной верёвки.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Более подробное описание множества работ и фото кулонов из бисера вы сможете найти на интернет-сайтах посвящённых рукоделию, где ещё имеются и множество обучающих видео. Они позволят вам полностью овладеть этим искусством и покажут множество других вариаций работ.

Фото кулонов из бисера

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Также рекомендуем просмотреть:

Просмотров: 5 162

Фигурки из бисера, схемы.

Изготовление поделок из бисера — один из самых древних видов рукоделия. Вышивка бисером вошла в жизнь человека много сотен лет назад. Во многих археологических раскопках находят изделия из различных стеклянных, золотых и других бусин, которые были прообразом современных бус. Что теперь плетут из маленьких осколков радуги? Любителей качественных и красивых украшений порадуют различные серьги, браслеты, ожерелья, кулоны и кольца, для ценителей домашнего уюта есть схемы картин, шкатулок, кошельков и сумочек.Мастера плетут из бисера салфетки, держатели для штор, броши, елочные игрушки и многое другое. Для создания таких красивых, ярких и запоминающихся вещей необходимо определенное мастерство работы с бисером. Поэтому, прежде чем приступить к созданию любимых, и в то же время довольно сложных и трудоемких вещей, лучше потренироваться на простых и простых фигурках из бисера. Для создания таких поделок используются разные техники плетения, а кроме схем таких фигурок великое множество, так что скука и однообразие точно не грозят.Условно фигуры можно разделить на объемные и плоские. И то, и другое очень легко создать, а результат их работы можно использовать как брелок для ключей или мобильного телефона, оригинальную подвеску или серьги. В мастер-классе по созданию двух симпатичных лошадок вы сможете в совершенстве попрактиковаться в технике мозаичного и кирпичного плетения. Эти милые котята размером примерно 5,5 х 5,5 см или чуть меньше. Все будет зависеть от того, насколько хорошо вы откалибровали выбранные вами бусинки. Чем лучше бусинки подобраны друг для друга, тем точнее будет результат работы.Лошадки сплетены из двух частей, обе части сшиты между собой, а между ними есть немного материала для набивки для создания объемности. Понадобится: Бусины 10/0 (чёрно-белые для глазков и контуров), а для остального бычка на свой вкус. Леска, мононить, капроновая нить (та, что больше понравится). Конусовидной формы или в виде цилиндрических бусин (это будет копыто) примерно 5-7 мм. Материал для упаковки. Начать работу нужно с центральной части обеих половинок (они отмечены на схеме синим контуром).Плетение в технике мозаики. Затем плести ту часть, на которой шея коня и в конце плести часть туловища. Когда будут сплетены обе половинки, необходимо сшить их для крайних бусинок. Не забываем набивать начинкой. Для хвоста в каждой низкой сделайте 30 бисеринок, для челки по 5 бисеринок, для гривы 16 бисеринок. На ножках делаем 20 бусинок + 1 бусинка. Все детали выполнены по игольчатой ​​технологии. Каждая такая «иголка» — это нанизать все бусинки, а затем продеть леску, пропустив последние три бусинки через все остальные.Лошадь готова. А вот еще одна хорошенькая кобылка с яркой гривой. Понадобится: Бусины 10/0 черные, белые и того цвета, который будет у ствола и гривы. Мононить. Бисер для копыт. Две бусинки большего размера для глазка. Материал для упаковки. Работа в технике мозаики начинается, как и в последнее время, с центральной части. (Обозначается прямоугольником на схеме). После этого плести затылок и одно ухо. Второй на рисунке выделен серым. Чтобы челку было удобно плести, этот второй глаз лучше плести в конце.Сплести по рисунку еще два ряда и начать плести лицо. Затем сплести тело. Сделайте обе половинки. Пришиваем контурные крайние бусинки, набивая наполнителем. Ноги такие же, как у предыдущей лошади. Грива и хвостик состоят из спиц по 10 бисеринок, пучок — из 5. Грива пришивается в два ряда за крайние бисеринки обеих половинок. Булочка пришивается между ушками (на пяти бусинах). Не забудьте сплести второе ухо. Пришиваем большие глазки-бусинки. Забавная лошадка готова. Еще одна очаровательная фигурка, не требующая особых навыков — ангел из бисера и бус.Такой ангел-хранитель может стать отличным подарком другу или любимому человеку, повесив в виде брелка на ключи, он напомнит вам о вас и ваших теплых чувствах к человеку. Их можно сплести на веревке, леске или моноволокне, а также просто на тонкой проволоке. Ниже представлен очень простой и понятный мастер-класс по плетению ангела. Понадобится: Линия (проволока, нить). Бусины разного размера. Большая бусина на голову. Тело ангела крестиком можно сплести в две нитки, начиная с 5 бусинок или бусинок.Набрать отрезок проволоки (лески) удобной длины из 5 бисеринок. Набрать на один хвостик 4 бусинки и продеть в них второй хвостик. Получается, что оба конца проволоки (лески) скрещены внутри второго ряда тела ангела из 4 бусинок. В следующем ряду будет 3 бусинки, затем 2. Потом 1. На этом туловище закончено и начинается плетение крыльев. На каждом хвостике проволоки нанизываем по 15 бисеринок другого цвета. Пропустить хвосты на бисеринках предпоследнего ряда. Справа справа налево, слева слева направо.Хвостики скрестить бусинкой последнего ряда. На оба хвоста нанизать по 1 крупной бисерине. Это голова ангела. На один из хвостиков нанизываем несколько бусинок (например, на крылышки) и низко закатываем колечком. Это ореол ангела. Теперь из оставшейся проволоки можно сделать петельку и повесить ангела в виде елочного украшения или брелка. Вот еще несколько схем. Яркая плоская рыба. Милый розовый слоник. По созданию он похож на лошадей. Место прикрепления хвоста обозначено на рисунке крестиком.Хвостик выполнен в игольной технике. На рабочую нить нанизана бусинка разных оттенков розового.

Комментарии

комментария

Основные трехмерные формы

На трехмерном уровне существует пять основных форм: сфера, конус, цилиндр, тор и куб. Все трехмерные объекты могут быть построены из частей этих пяти форм. Вещи с плоскими поверхностями и резкими изменениями плоскости поверхности, такие как углы дома или шестиугольная головка болта, относятся к кубам.Изогнутые плоскости, такие как округлые подлокотники дивана или рябь флага, относятся к конусам или цилиндрам. Неровности, вмятины и холмы относятся к сферам. Барбекю состоит из сфер и цилиндров; почтовый ящик — это полуцилиндр и куб. Закругленный круговой ободок чашки относится к тору, который также является основной формой спиральной змеи или звеньев цепи.

Изучая основные формы, вы также должны учитывать, как они проявляются в негативе. Например, кратер — это отрицательная сфера; колея или желоб — отрицательный цилиндр; пустой прямоугольный бассейн — часть отрицательного куба.

Сфера
Сфера — это самая легкая из форм для рисования, потому что независимо от вашего угла зрения она всегда рисуется как круг. Почти чистые примеры сферических форм — это апельсины, луна, футбольные мячи и пузыри.

Th e sph e r e нарисовано в строке i s simp l y a ci rcle .

Конус
Конус — следующий по сложности рисунок. Это просто буква V с кружком между концами. Если смотреть под углом, круг представляет собой эллипс. Линия, проведенная от центра круглого основания до точки буквы V, является средней линией конуса. Если основание конуса перпендикулярно средней линии, стороны конуса отрисовываются от узких концов эллипса. Если нет, то основание конуса будет выглядеть как будто срезанное под углом. Почти чистые примеры конусовидной формы — карандаши, рождественские елки, мачты кораблей и шляпы ведьм.

Конус изображен в виде треугольника с эллипсом на одном конце. Линия, проведенная от середины эллипса до точки конуса, называется средней линией. Если линия, проведенная через самую широкую часть эллипса, не перпендикулярна средней линии, конус не будет стоять прямо.

C o m ple x формы могут быть установлены e n as c o mbin a ция s из t he b a s i c fo r мс.

Цилиндр
Цилиндр нарисован с параллельными линиями для сторон и окружностями между параллельными линиями. (Как и в случае с конусом, круги становятся эллипсами, если смотреть под углом.) Если верх и низ цилиндра перпендикулярны его сторонам, параллельные линии проводятся от узких концов эллипсов. Линия от центра одного эллипса до центра другого — это средняя линия цилиндра. Линия, проведенная через самую широкую часть эллипса, будет перпендикулярна средней линии цилиндра.Важно помнить, что, хотя верхняя и нижняя поверхности цилиндра параллельны, они не изображаются как одинаковые эллипсы. Чем ближе одна из этих поверхностей НАХОДИТСЯ на уровне ваших глаз (также известная как линия горизонта), тем уже будет эллипс; чем дальше от уровня глаза , тем округлее будет эллипс. (Подробнее об этом см. В главе об эллиптической перспективе.) У укороченного в ракурсе цилиндра — цилиндра, который сужается с одного конца, чтобы создать иллюзию проекции или расширения в пространство — будет казаться, что его стороны не параллельны, потому что они обращается в перспективе.В перспективе кажется, что параллельные линии сходятся, уходя в пространство. Практически чистые примеры цилиндрических форм — это банки, ручки от метел и карнизы для штор.

A c y lin d e r i s d ra w na s a p a ir из p ara llel li n e s w iith an ellipse at e a c he nd b e tween t h e pa r a llel line s . T he elli ps e n eare r to y or r eye l e vel will a ppe a r n a rr o wer th an o ne fa r th e r на расстоянии от уровня ваших глаз .

На этом рисунке цилиндр № 1 слева изображен правильно, а три других — неправильно. В № 2 верхний и нижний эллипсы одинаковы, но этого не может быть, потому что они видны на разных уровнях. Цилиндр № 3 неправильный, потому что, даже если он стоит на плоской поверхности, нижнюю часть не следует рисовать плоской, потому что нижняя часть самой формы изогнута. В цилиндре №4 верхний эллипс должен быть уже, потому что он ближе к уровню наших глаз, чем нижний эллипс.

Тор
Тор имеет форму бублика. Если смотреть сверху, это всего лишь два круга, один внутри другого. С точки зрения трех четвертей середина внешнего края представляет собой среднюю часть или эллипс; концы — это части двух маленьких кружков. Внутренняя часть тора (отверстие в бублике) изображается двумя дугами, которые образуют яйцевидную (овальную) форму с заостренными концами. Почти чистые примеры тора — рогалик, свернутый в спираль садовый шланг или змея и звено цепи.

Тор — это , нарисованный либо как два эллипса, один внутри другого, либо как эллипс с двумя противоположными дугами, образующими острие t эллипса внутри. Видно (сбоку тор, образуя две параллельные мелкие части с половиной — Окружность на с обоих концов.

Куб
Куб — это коробка с шестью квадратными сторонами. Чистые примеры кубиков — игральные кости, шкафы для хранения документов, навесы и стиральные машины.Куб — это самая сложная форма для правильного рисования, потому что она предполагает линейную перспективу. Более подробное объяснение линейной перспективы будет представлено позже в этой книге, но на следующих страницах вы найдете некоторые основные концепции.

Куб представляет собой шестигранную форму — ; ea c h сторона — плоский квадрат . Это mo s t , сложная из пяти основных форм для рисования, поскольку для этого требуется понимание линейной перспективы .

© Copyright Билл Мартин 2007-2014 • PO Box 511, Albion, CA 95410 • [email protected]

Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусинок

1 Журнал математики и искусств, Vol.X, No. X, Месяц 2007, xxx-xxx Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусинок GL FISHER * AND B. MELLOR Государственный политехнический университет Калифорнии, Сан-Луис-Обиспо, США Университет Лойола Мэримаунт, Лос-Анджелес, США Бусины бусы — это группы бусин, сплетенных вместе (обычно вокруг одного или нескольких больших отверстий). Их группы симметрий классифицируются трехмерными конечными точечными группами, то есть конечными подгруппами ортогональной группы степени три, O (3). Вопрос, на который мы отвечаем, заключается в том, может ли каждая конечная подгруппа O (3) быть реализована как группа симметрий бисерной бусины.Мы показываем, что это возможно, и описываем общие методы плетения, которые мы использовали для выполнения этого подвига, а также примеры бисерной бусины, реализующей каждую конечную подгруппу O (3) или, в случае семи бесконечных классов конечных подгрупп , по крайней мере, одну репрезентативную бусину для каждого класса. Ключевые слова: симметрия; Бусина из бисера; Трехмерная конечная точечная группа; Frieze group, Polyhedron 2000 Mathematics. Классификация предметов: 00A06, 20h25, 51F25 Раздел 1: Введение Ткачи бус используют иглу и нить, чтобы сшить бусины вместе, чтобы сделать декоративные предметы, включая украшения, гобелены и корзины.Многие мастера по плетению бус изменяют выкройки для создания дизайнов кабелей и ремешков для ожерелий, браслетов и сумок. Дизайнеры бисерного плетения, такие как Дайан Фицджеральд, Шарри Морошок, Кристин Пруссинг, Такако Самеджима, Лаура Ши, Флоренс Тернур и Кэрол Уилкокс Уэллс, плетут бусины в композитные кластеры, обычно с как минимум одним большим отверстием, называемым бисером [1-7]. Этот вид вышивки бисером оказался очень популярным и быстро распространяется. Математически многие бусинки можно рассматривать как многогранники, причем каждая бусинка (или, точнее, отверстие в середине каждой бусинки, которое обеспечивает ее ориентацию) соответствует краю многогранника.Различные схемы плетения объединят разное количество этих ребер, чтобы сформировать вершины многогранника. Поэтому очень естественно использовать различные многогранники в качестве вдохновения для создания дизайна из бисера. Обычные конструкции бусинок включают в себя куб, показанный на рисунке 1. Отверстия 12 бусинок расположены на 12 краях куба. Фотография слева показывает вид куба, смотрящего на ребро, фотография в середине показывает вид, смотрящий на вершину, а фотография справа показывает вид, смотрящий на грань.

2 Г. Л. Фишер и Б. Меллор Рис. 1. Куб из бусинок Другой известный узор — шар из бусинок, который сплетает 30 бусинок в додекаэдр. Взгляды на ребро, вершину и грань (слева направо) показаны на рисунке 2. Рисунок 2: шарик с бусинами Обе эти конструкции полые и удерживаются в открытом состоянии за счет натяжения нити и набивки бусинок. Таким способом можно сшить все пять правильных многогранников. Наша цель — в некотором смысле показать, что любой многогранник может быть смоделирован как бусина из бисера, более конкретно, мы покажем, что из любого многогранника мы можем сплести бусину из бисера с тем же набором симметрии.Задача состоит в том, чтобы создать шаблоны для достижения этой цели, чтобы мы также создавали бисерные бусины, которые сами по себе являются прекрасными объектами. Решая эту задачу, мы разработали много новых дизайнов, которые иначе не могли бы быть созданы. В этой статье мы рассмотрим возможные группы симметрий многогранников (также известные как конечные трехмерные точечные группы) и продемонстрируем, как создавать узоры из бисера для реализации каждой из них. Все бисерные бусины, представленные в этой статье, имеют размер от 12 мм до 38 мм, но дизайн можно масштабировать практически до любого размера.

3 Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисерных бусинок Раздел 2: Группы симметрии многогранников и их реализации с помощью бисерных бусинок Симметрия геометрического объекта — это жесткое преобразование пространства, которое оставляет неизменным внешний вид объекта . Мы рассматриваем ограниченные объекты в трех измерениях, поэтому мы рассматриваем только жесткие преобразования, которые фиксируют хотя бы одну точку (тем самым исключают переводы). Любое из этих преобразований — это вращение вокруг оси через начало координат (фиксированная точка), отражение через плоскость через начало координат или вращательное отражение (вращение вокруг оси с последующим отражением через плоскость через начало координат) .Поскольку объединение двух симметрий объекта приводит к другой симметрии, набор симметрий для любого объекта представляет собой группу в составе, называемую группой симметрии этого объекта. 2.1 Симметрии сферы Любое вращение, отражение или вращение, фиксирующее начало координат, также фиксирует сферу с центром в начале координат. Группа симметрии сферы — это (бесконечный) набор всех этих движений (обычно обозначаемых O (3)). Любой данный многогранник будет разделять некоторый конечный набор этих симметрий, поэтому его группа симметрий является конечной подгруппой в O (3).Таких подгрупп бесконечно много, но они естественным образом делятся на 7 бесконечных классов групп (призматические группы, соответствующие 7 бесконечным группам фриза) и 7 дополнительных групп (соответствующие группам симметрии Платоновых тел и их подгрупп) [8 , 9]. 2.2. Призматические группы. N-сторонняя правая правильная призма — это многогранник, состоящий из двух правильных n-сторонних многоугольников, соединенных прямоугольниками. Например, коробка для плитки шоколада Toblerone представляет собой трехстороннюю правильную обычную призму, а карандаш — шестистороннюю правильную обычную призму (без учета кончика и ластика, конечно).Призматические группы — это группы симметрии правильных правильных призм и их подгрупп, которые собраны в 7 бесконечных классов, пронумерованных n — числом сторон (исключая основания) соответствующих призм. Каждая из этих групп содержит симметрию вращения (порядка n) вокруг оси, проходящей через центр призмы (как грифель в карандаше). Кроме того, могут иметь место симметрии отражения через плоскости, проходящие через ось вращения или перпендикулярные ей, и / или вращения (порядка 2) вокруг линий, перпендикулярных главной оси призмы.Семь классов призматических групп соответствуют семи бесконечным граничным (то есть фризовым) группам. Чтобы увидеть ассоциацию, просто возьмите полосу из трех или более трансляционных повторов из пограничного узора, затем оберните эту полосу вокруг призмы так, чтобы по одному повтору располагались с каждой стороны, и у вас был объект со связанной призматической группой. Вращения вокруг центральной оси в призматической группе соответствуют перемещениям во фризовой группе. Соответственно, для каждой из семи групп фризов соответствующие призматические группы образуют счетно бесконечный класс групп, по одной на каждое количество повторов / сторон.Мы рассмотрим каждое семейство призматических групп по очереди и приведем примеры, по крайней мере, одной бусины с бусинами, одной из групп симметрии в каждом классе; в дальнейшем n всегда представляет порядок симметрии вращения вокруг центральной оси. При n, равном одному или двум, призмы вырождены, и некоторые из семейств призматических групп перекрываются [8, 10]. Это различие не имеет отношения к конструкции борта, поэтому далее в этой статье не рассматривается.

4 г.Л. Фишер и Б. Меллор Напомним, что семь групп фризов обычно обозначаются 11 (только перенос), 1m (перенос и горизонтальное отражение), m1 (перенос и вертикальное отражение), 12 (перенос и поворот на 180), 1g (перенос и скользящее отражение), мг (перенос, горизонтальное отражение и скользящее отражение), мм (перенос, горизонтальное и вертикальное отражение и поворот на 180) C n. Первая рассматриваемая нами призматическая группа соответствует рисунку фриза 11. Рисунок контура на рисунке 3 демонстрирует 11 симметрии.Рисунок 3: 11 узор фриза При переносе на n-стороннюю призму трансляционная симметрия рисунка фриза соответствует n-кратной симметрии вращения в C n. Бусина Эрин Симонетти на рисунке 4 демонстрирует симметрию C 3 (без учета дужки). Рис. 4. Призматическая группа C 3 C nh. Следующая призматическая группа соответствует 1-метровому рисунку фриза, показанному на рисунке 5.

5 Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисерных бусинок Рисунок 5: 1-метровый рисунок фриза Соответствующая призматическая группа C nh имеет как центральную симметрию вращения, так и симметрию. симметрия отражения через горизонтальную плоскость, перпендикулярную оси.На фотографиях на рис. 6 показан вид сверху и сбоку симметричной бусины C 5h, изготовленной с использованием метода бахромы, описанного в конце этого раздела, посвященного призматическим группам. Бусины с этой группой симметрии очень необычны, поэтому вместо того, чтобы использовать известный узор, авторы сознательно создали этот дизайн для реализации группы симметрии C 5h. Рисунок 6: C 5h призматическая группа C nv (пирамидальная симметрия). Симметрия n-сторонней правой правильной пирамиды соответствует группе фризов m1, показанной на рисунке 7.Рисунок 7: узор фриза m1 Соответствующая группа симметрии C nv имеет набор из n вертикальных зеркальных плоскостей, каждая из которых содержит ось вращения. Это очень распространенная группа симметрии бисера. На рис. 8 показаны две фотографии бусины «Семь сестер» с симметрией C 7v и другой бусинки, выполненной той же техникой с симметрией C 3v.

6 Г. Л. Фишер и Б. Меллор Рис. 8: C 7v и C 3v призматические группы D n (диэдральная группа). Двугранная группа соответствует группе фризов 12, показанной на рисунке 9.Рисунок 9: 12 узор фриза D n имеет оси вращения второго порядка, перпендикулярные главной оси вращения, и не имеет плоскостей отражения. Украшенная ромашка из бисера, показанная на рисунке 10, демонстрирует симметрию D 5 и использует хорошо известный шов в виде ромашки вместе с методом бахромы, описанным позже. Рисунок 10: Призматическая группа D 5 S 2n. Следующая призматическая группа, S 2n (не путать с группой перестановок 2n объектов), соответствует группе фризов 1g, показанной на рисунке 11.

7 Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисерных бусинок Рисунок Рисунок фриза 11: 1g S 2n имеет симметрию вращения и отражения, сочетающую вращение (вдвое меньшее, чем симметрия центрального вращения) вокруг центральной оси с отражением через плоскость, перпендикулярную оси.На рисунке 12 показан шарик с группой симметрии S 8, обратите внимание, что центральная симметрия вращения имеет порядок 4, а симметрия вращательного отражения имеет порядок 8. Объект на рисунке 12, кажется, имеет вертикальные зеркальные отражения, но следует заметить, что маленькие шарики имеют порядок темно-синий только с одной стороны больших синих бусинок. Рисунок 12: Призматическая группа S 8 D nd (антипризматическая симметрия). Антипризматическая симметрия соответствует рисунку фриза mg, показанному на рисунке 13. Рисунок 13: Рисунок фриза MG Симметрии антипризм включают вертикальные плоскости отражения через главную ось вращения, но не плоскость отражения, перпендикулярную оси.Вместо этого имеется перпендикулярная плоскость вращения. Бусинка слева на рис. 14 демонстрирует симметрию D 3d, в которой главная ось вращения расположена горизонтально. На двух фотографиях справа от рис. 14 показана бусина из бисера «Пиковая четверка», сделанная методом бахромы. Если бы эта бусина не была окрашена, она бы демонстрировала симметрию D 4d.

8 G. L. Fisher и B. Mellor Рис. 14: Бусины из бисера, представляющие призматические группы D 3d и D 4d D nh (полная призматическая группа).Полная призматическая группа соответствует группе фризов мм, показанной на рисунке 15. Рисунок 15: узор фриза в мм Полная призматическая группа добавляет горизонтальную плоскость отражения и n вертикальных плоскостей отражения к центральной n-кратной симметрии вращения. Каждая из n линий пересечения горизонтальной плоскости отражения с вертикальной плоскостью отражения является осью вращения 2-го порядка. Бусинки волчка слева на рис. 16 имеют симметрию D 10h и изготовлены методом бахромы. описано в следующем разделе.На двух фотографиях справа на рисунке 16 показана бусина из бисера Double Rose Window с симметрией D 6h. Как и C nv, для изготовления бисера с симметрией D nh можно применять самые разные техники плетения из бисера. Поскольку это так просто сделать, этот тип симметрии бисера, пожалуй, самый распространенный тип. Рисунок 16: Призматические группы D 10h и D 6h

9 Трехмерные конечные группы точек и симметрия бисерных бусинок Общий метод плетения призматических бусинок — метод бахромы Все призматические симметрии могут быть проявлены в бусинках. используя технику, разработанную Флоренс Тернер и первым автором, названную методом бахромы [6].Чтобы сделать бусину из бисера волчка (рис. 16), используя метод бахромы, начните с нанизывания нескольких бусинок на иглу и нить; на рисунках 17 показаны семь бусинок. Сделайте прядь из бахромы, прошивая бисер 6, 5, 4, 3 и 2 снова в обратном направлении, как показано. Затем прошейте бисерину 1 в исходном направлении, завершив прядь бахромы. Создайте еще несколько прядей бахромы (всего показано десять), продвигая каждую бахрому вверх по нити так, чтобы она плотно прилегала к предыдущей прядке бахромы.Расположите бахрому в форме солнца так, чтобы бусинка 1 в последней прядке бахромы находилась рядом с бусинкой 1 первой прядки бахромы. Соедините круг, прошивая все десять бусинок, а затем снова проденьте бисерину 1 первой прядки бахромы. Натяните нить достаточно туго, чтобы бусинки в круге плотно прилегали друг к другу. Пришейте бисер 2-6 к верхней части первой прядки бахромы и проденьте через кончик бахромы (бусинка 7). Прошейте кончик бахромы в следующую прядь бахромы. Протяните нить как можно дальше, не нарушая формы солнца.Продолжайте обводить форму солнца, несколько бусинок за первую прядь бахромы, как показано на рисунке 17 (справа). Рисунок 17: Метод бахромы Поместите большую бусину (сердцевину) в середину формы солнца и удерживайте ее указательным пальцем. Медленно вытягивайте нить, чтобы бахрома плотно прилегала к большой бусине. Снова прострочите оставшуюся часть круга по кругу, заканчивая проходом через верхнюю часть первой прядки бахромы. Свяжите и обрежьте оба конца нити, и бисерная бусина готова. Чтобы добиться симметрии всех призматических групп с помощью метода бахромы, мы используем более сложные нити бахромы на первых этапах, а не показанную простую бахрому.Когда длина и количество прядей бахромы изменяются, размер сердечника бусины должен измениться соответствующим образом, чтобы бусинки подходили правильно. Промежутки между кусочками бахромы можно украсить другим бисером. Для получения информации о размерах бусинок и других практических соображений см. [11]. 2.3 Группы симметрий платоновых тел и их подгрупп Семь конечных точечных групп, которые не являются призматическими, являются подгруппами групп симметрий платоновых тел. В отличие от призматических групп, каждая из этих групп имеет более одной оси 3-, 4- или 5-кратной симметрии.Три из точечных групп Платона являются полными группами симметрии пяти Платоновых тел: T d — группа симметрии тетраэдра, O h — группа симметрии

10 GL Фишера и Б. Меллора как куба, так и октаэдра, а I h — группа симметрии как додекаэдра, так и икосаэдра. Остальные четыре точечные группы являются их собственными подгруппами. Все семь обсуждаются ниже T d (полная тетраэдрическая группа симметрии). Тетраэдр имеет четыре оси вращательной симметрии третьего порядка каждая.Полная тетраэдрическая группа симметрии T d имеет порядок 24 и изоморфна группе симметрии S 4. Существует несколько способов построить многогранник из бусинок. Один из методов, который всегда будет работать, — выровнять отверстие бусины вдоль каждого края многогранника, как показано для куба и додекаэдра во введении. Затем нить соединяет бусинки в вершинах многогранника. В тетраэдре три бусинки встречаются в каждой вершине. Для любой тетраэдрической бусины, естественно, потребуется шесть одинаковых наборов бусинок, по одной для каждого из шести краев тетраэдра.Вместо того, чтобы приводить пример простейшего тетраэдра, мы использовали более сложную конструкцию, основанную на структуре, полученной в результате второй итерации построения тетраэдра Серпинского, как показано на рисунке 18. Рисунок 18: Бусинчатый тетраэдр Серпинского O h ( полная октаэдрическая группа симметрии). Поскольку куб и октаэдр двойственны, их группы симметрии изоморфны. O h имеет 48 симметрий, включая симметрии вращения четвертого, третьего и второго порядков. Есть три оси вращения четвертого порядка, по одной через каждую пару противоположных граней куба.Через каждую из четырех пар противоположных вершин куба проходят оси третьего порядка; и через каждую из шести пар противоположных кромок проходят оси второго порядка. На рис. 1 показан базовый куб с бусинами, который имеет группу симметрии O h. На рис. 19 показан еще один бусник с группой симметрии O h. На трех фотографиях показан вид сверху вниз по каждому из трех типов осей вращения. На левой фотографии показана ось вращения третьего порядка (симметрии равностороннего треугольника), на средней фотографии показана ось вращения четвертого порядка (симметрии квадрата), а на правой фотографии показана ось вращения второго порядка ( симметрии прямоугольника).Цвета бисера слегка нарушают симметрию; три бусинки в вершинах куба чередуются между двумя цветовыми схемами. Эта бисерная бусина полая и имеет отверстия, проходящие по семи разным осям симметрии.

11 Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисерных бусин Рис.19: Полная октаэдрическая группа симметрии O h Другой многогранник с группой симметрии O h является кубооктаэдром, который можно визуализировать как куб со всеми обрезанными углами. .На рисунках 20 и 21 показано, как сетку кубооктаэдра можно использовать для создания решетки из бусинок вокруг сферы или бусины сердечника. Иллюстрация слева на рисунке 20 показывает образец плетения из бисера, где самые маленькие бусинки соответствуют краям кубооктаэдра, а самые большие бусинки — вершинам. Фотография этого узора показана на средней фотографии, а справа добавлена ​​центральная бусина. Рисунок 20: Этапы создания бусинок кубооктаэдра Наконец, круг из бусинок соединяет верхние четыре вершины бусинки, чтобы завершить бусину из бусинок кубооктаэдра, как показано на рисунке 21.Для украшения на квадратные грани были добавлены дополнительные бусины меньшего размера. Рисунок 21: Готовый кубооктаэдр

12 Г. Л. Фишер и Б. Меллор I h (полная группа симметрии икосаэдра). Техника, используемая для сшивания кубооктаэдра, может быть обобщена для создания других многогранников, включая икосаэдр, показанный слева на рисунке 22. Полная группа симметрии икосаэдра имеет оси вращения второго, третьего и пятого порядков, соответствующие ребрам. , грани и вершины икосаэдра соответственно.Додекаэдр, как дуальный икосаэдру, имеет ту же группу симметрии. Два изображения другой бусинки с этой группой симметрии показаны в центре и справа на рис. 22. Левая бусина использует метод, описанный для кубооктаэдра, плюс дополнительный слой бусинок, который добавляется, чтобы сделать каждое треугольное соединение жестким, поэтому что для поддержания формы полых бусинок не требуется сердечника. Технику кубооктаэдра также можно использовать для нарушения избирательной симметрии. Примеры этого показаны в следующем разделе.Рисунок 22: Полная группа симметрии икосаэдра I h T (киральная тетраэдрическая группа симметрии). Киральная тетраэдрическая группа T представляет собой группу симметрий вращения тетраэдра, игнорируя симметрии отражения. Мы можем рассматривать T как группу симметрии тетраэдра, каждая сторона которого украшена таким образом, чтобы нарушить симметрию отражения, как показано на рисунке 23. Рисунок 23: Помеченный тетраэдр с группой симметрии T Бусинки из бисера, реализующие группу симметрии T (и другие группы чисто вращательной симметрии ) требуют, чтобы бусник сознательно нарушил симметрию отражения.Если в схеме плетения используется только одна бусина для каждого края многогранника, то сделать края асимметричными невозможно. Создание бусинки с меньшей симметрией требует, чтобы дизайнер начал с рисунка с большей избыточностью, и эти избыточные бусинки могут появиться на гранях, краях или вершинах. Избыточные бусинки могут быть одинаковыми по цвету или размеру, или они могут отличаться, тем самым разрушая симметрию (то есть уменьшая группу симметрии бусинки до подгруппы полной группы симметрии нижележащего Платонового тела).После того, как дизайн установлен, изменить цвета лишних бусинок относительно просто по сравнению с изменением размеров (что будет

13 Трехмерные конечные группы точек и симметрия бусинок повлияет на то, как бусинки подходят друг к другу). Чем больше бусинок в дизайне, тем крупнее готовая бусина. Чтобы изделие оставалось маленьким, задача состоит в том, чтобы сделать дизайн как можно более простым, сохраняя при этом желаемую симметрию.На фотографиях на рис. 24 бусинка из бисера с полной тетраэдрической группой симметрии T d (справа) относительно проста по сравнению с бусиной из бусинок, которая демонстрирует только хиральную тетраэдрическую группу симметрии T (слева и в центре). Рисунок 24: Хиральная тетраэдрическая группа симметрии T по сравнению с T d O (хиральная октаэдрическая группа симметрии). Группа симметрии O — это подгруппа симметрии вращения полной группы симметрии куба (или октаэдра). Эта и другие киральные группы не обладают симметрией отражения.Бусина на рисунке 25 имеет группу симметрии O. На левой фотографии показан вид сверху вниз по оси вращения третьего порядка, а на правой фотографии показано вращение четвертого порядка. Рисунок 25: Хиральная октаэдрическая группа O I (киральная икосаэдрическая группа симметрии). Наша третья группа поворотов — это группа поворотов икосаэдра. Бусина на рисунке 26 имеет группу симметрии I и, как и бусина на рисунке 25, была построена с использованием той же базовой техники, что и кубооктаэдр, показанный на рисунке 21.

14 Г. Л. Фишер и Б. Меллор Рис. 26: Хиральная икосаэдрическая группа I T h (пиритоэдрическая группа симметрии). Последняя группа симметрии — это еще одна подгруппа O h, состоящая из поворотов второго и третьего порядков и отражений в плоскостях, параллельных граням куба. Эта группа является пиритоэдрической группой симметрии T h. Иллюстрация и бусинка на рисунке 27 демонстрируют симметрию T h. Бусина в этом примере является примером колец Борромео (звено из трех компонентов, каждая пара которых не связана) и была сшита с использованием трехмерной версии прямоугольного переплетения, называемого прямоугольным швом.Прямоугольный стежок представляет собой линейный повтор бусинки с кубическими бусинами на рисунке 1, с добавлением дополнительных бусинок для украшения и жесткости. Рисунок 27: Пиритоэдрическая группа симметрии T h Бусинка на рисунке 28 также демонстрирует симметрию T h. Эта бусина из бисера была изготовлена ​​с использованием той же базовой техники, что и кубооктаэдр на рисунке 21. Рисунок 28: Бусина с группой симметрии T h

15 Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусинок Раздел 3: Выводы и будущее Работа Мы продемонстрировали, как любую из трехмерных конечных точечных групп можно представить в виде бусинок.Бисерное плетение — феноменально богатая среда для создания трехмерного математического искусства. Например, ткачи из бисера также делают декорированные кабели, поверхности, узлы, мозаику, сети, молекулы и ленты Мебиуса, любой из которых можно раскрасить по-разному. Также изготовление бусинок из бисера естественным образом приводит к ряду математических вопросов. Например, какое минимальное количество бусинок требуется для реализации каждой точечной группы? Какая минимальная длина резьбы требуется? Мы надеемся исследовать эти и другие вопросы в дальнейшей работе.Ссылки [1] Фицджеральд, Д., 2006 г., В: Дж. Кэмпбелл (ред.) Искусство бисера: изучение дизайна, цвета и техники (Нью-Йорк: Lark Books). [2] Морошок, С., 2004, Ожерелье из морских анемонов, В: 500 бисерных предметов: новые измерения в современной вышивке бисером. (Нью-Йорк: Lark Books). [3] Пруссинг, К., 2004, Бисероплетение с прямоугольным переплетением (Колорадо: Interweave Press). [4] Самедзима, Т., 2005, Bead Fantasies (Нью-Йорк: Kodansha America). [5] Ши, Л., Платон, бусина, бусина, додекаэдр, Bridges 2006 Proceedings, [6] Turnour, F.и Фишер, Г.Л., 2006, Бусины с цветным покрытием, Бусины и пуговицы, апрель, [7] Уилкокс Уэллс, К., 2002, Искусство и элегантность бисероплетения: новые дизайны ювелирных изделий с классическими строчками, (Северная Каролина: Lark Books). [8] Локвуд, Э. Х. и Макмиллан, Р. Х., 1978, Геометрическая симметрия, (Лондон: Cox & Wyman Ltd.). [9] Вейл, Х., 1952, Симметрия, (Нью-Джерси: Princeton University Press). [10] Шубников А.В., Копцик В.А., 1974, Симметрия в науке и искусстве, (Нью-Йорк: Plenum Press). [11] Фишер, Г.Л. и Тернер, Ф. (ссылка проверена 26 марта 2007 г.)

трехмерных фигур | SkillsYouNeed

На этой странице рассматриваются свойства трехмерных или «твердых» форм.

Двумерная фигура имеет длину и ширину. У трехмерной твердой формы тоже есть глубина. Трехмерные формы по своей природе имеют внутреннюю и внешнюю стороны, разделенные поверхностью. Все физические предметы, к которым можно прикоснуться, трехмерны.

Эта страница охватывает как твердые тела с прямыми сторонами, называемые многогранниками, которые основаны на многоугольниках, так и твердые тела с кривыми, такие как глобусы, цилиндры и конусы.

Многогранники

Многогранники (или многогранники) — это твердые тела с прямыми сторонами. Многогранники основаны на многоугольниках, двухмерных плоских формах с прямыми линиями.

См. Нашу страницу Свойства полигонов для получения дополнительной информации о работе с полигонами.

Многогранники определяются как имеющие:

• Прямые кромки .
• Плоские стороны называются гранями .
• Углы, называемые вершинами .

Многогранники также часто определяются количеством ребер, граней и вершин, которые они имеют, а также тем, имеют ли их грани одинаковую форму и размер. Как и многоугольники, многогранники могут быть правильными (основанными на правильных многоугольниках) или неправильными (основанными на неправильных многоугольниках). Многогранники также могут быть вогнутыми или выпуклыми.

Один из самых простых и известных многогранников — это куб.Куб — это правильный многогранник, имеющий шесть квадратных граней, 12 ребер и восемь вершин.

Правильные многогранники (Платоновы тела)

Пять правильных тел. — это особый класс многогранников, все грани которых идентичны, причем каждая грань представляет собой правильный многоугольник. Платоновы тела:

• Тетраэдр с четырьмя равносторонними треугольными гранями.
• Куб с шестью квадратными гранями.
• Октаэдр с восемью равносторонними треугольными гранями.
• Додекаэдр с двенадцатью гранями пятиугольника.
• Икосаэдр с двадцатью равносторонними треугольными гранями.

На диаграмме выше показаны правильные многогранники.

Что такое призма?

Призма — это любой многогранник, у которого есть два совпадающих конца и плоские стороны . Если вы разрежете призму в любом месте по ее длине, параллельно концу, ее поперечное сечение будет одинаковым — вы получите две призмы.Стороны призмы составляют параллелограммов — четырехугольные формы с двумя парами сторон равной длины.

Антипризмы похожи на обычные призмы, их концы совпадают. Однако стороны антипризм состоят из треугольников, а не параллелограммов. Антипризмы могут стать очень сложными.

Что такое пирамида?

Пирамида — это многогранник с основанием многоугольника , который соединяется с вершиной (верхняя точка) прямыми сторонами.

Хотя мы склонны думать о пирамидах с квадратным основанием, подобных тем, что строили древние египтяне, на самом деле они могут иметь любое основание многоугольника, правильное или неправильное. Кроме того, пирамида может иметь вершину в прямом центре ее основания, правая пирамида , или может иметь вершину вне центра, когда это наклонная пирамида .

Более сложные многогранники

Есть еще много видов многогранников: симметричные и несимметричные, вогнутые и выпуклые.

Архимедовы тела, например , состоят как минимум из двух разных правильных многоугольников.

Усеченный куб (как показано) представляет собой архимедово твердое тело с 14 гранями. 6 граней — правильные восьмиугольники, а остальные 8 — правильные (равносторонние) треугольники. У фигуры 36 ребер и 24 вершины (угла).

Трехмерные фигуры с кривыми

Твердые фигуры с закругленными или закругленными краями не являются многогранниками. Многогранники могут иметь только прямые стороны.

Многие из окружающих вас объектов будут иметь по крайней мере несколько кривых. В геометрии наиболее распространенными изогнутыми телами являются цилиндры, конусы, сферы и торы (множественное число для тора).

Площадь

На нашей странице «Расчет площади» объясняется, как вычислить площадь двумерных фигур, и вам необходимо понимать эти основы, чтобы рассчитать площадь поверхности трехмерных фигур.

Для трехмерных форм мы говорим о площади поверхности , чтобы избежать путаницы.

Вы можете использовать свои знания о площади двумерных форм для вычисления площади поверхности трехмерной формы, поскольку каждая грань или сторона фактически является двумерной формой.

Поэтому вы прорабатываете площадь каждой грани, а затем складываете их вместе.

Как и в случае плоских форм, площадь поверхности твердого тела выражается в квадратных единицах: см ² , дюймы ² , м ² и так далее.Вы можете найти более подробную информацию о единицах измерения на нашей странице Системы измерения .

Примеры расчета площади поверхности

Куб

Площадь поверхности куба — это площадь одной грани (длина х ширина), умноженная на 6, потому что все шесть граней одинаковы.

Поскольку грань куба представляет собой квадрат, вам нужно выполнить только одно измерение — длина и ширина квадрата, по определению, одинаковы.

Таким образом, одна грань этого куба имеет размер 10 × 10 см = 100 см ² .Умножив на 6 количество граней на кубе, мы находим, что площадь поверхности этого куба составляет 600 см ² .

Другие правильные многогранники

Аналогично, площадь поверхности других правильных многогранников (платоновых тел) может быть вычислена, если найти площадь одной стороны и затем умножить ответ на общее количество сторон — см. Диаграмму основных многогранников выше.

Если площадь одного пятиугольника, составляющего додекаэдр, равна 22 см ² , умножьте это на общее количество сторон (12), чтобы получить ответ 264 см ² .

Пирамида

Для расчета площади поверхности стандартной пирамиды с четырьмя равными треугольными сторонами и квадратным основанием:

Сначала определите площадь основания (квадрата) длина × ширина.

Затем проработайте площадь одной стороны (треугольник). Измерьте ширину по основанию, а затем высоту треугольника (также известную как наклонная длина) от центральной точки на основании до вершины.

Затем вы можете либо разделить полученный ответ на 2, чтобы получить площадь поверхности одного треугольника, а затем умножить на 4, чтобы получить площадь поверхности всех четырех сторон, либо просто умножьте площадь поверхности одного треугольника на 2.

Наконец, сложите площадь основания и стороны вместе, чтобы найти общую площадь поверхности пирамиды.

Чтобы вычислить площадь поверхности для пирамид других типов, сложите площадь основания (известную как площадь основания) и площадь сторон (боковая площадь), возможно, вам потребуется измерить стороны по отдельности.

Диаграммы сети

Геометрическая сеть — это двухмерный «узор» для трехмерного объекта. Сетки могут быть полезны при определении площади поверхности трехмерного объекта.На диаграмме ниже вы можете увидеть, как строятся базовые пирамиды. Если пирамида «развернута», у вас остается сеть.

Для получения дополнительной информации о сетевых диаграммах см. Нашу страницу 3D-фигуры и сети .

Призма

Для расчета площади поверхности призмы :

Призмы имеют два конца одинаковые и плоские стороны параллелограмма.

Вычислите площадь одного конца и умножьте на 2.

Для обычной призмы (у которой все стороны одинаковые) вычислите площадь одной из сторон и умножьте на общее количество сторон.

Для призм неправильной формы (с разными сторонами) рассчитайте площадь каждой стороны.

Сложите два ответа (концы × стороны), чтобы найти общую площадь поверхности призмы.

Цилиндр

Пример:
Радиус = 5 см
Высота = 10 см

Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра , полезно подумать о составных частях формы. Представьте банку сладкой кукурузы — у нее есть верх и низ, оба из которых представляют собой круги.Если отрезать сторону по длине и приплюснуть, получится прямоугольник. Поэтому вам нужно найти площадь двух кругов и прямоугольника.

Сначала проработайте область одного из кругов.

Площадь круга равна π (пи) × радиус ² .

Предполагая радиус 5 см, площадь одного из кругов составляет 3,14 × 5 ² = 78,5 см ² .

Умножьте ответ на 2, так как есть два круга 157см ²

Площадь боковой стороны цилиндра равна периметру окружности, умноженному на высоту цилиндра.

Периметр равен π x 2 × радиус. В нашем примере 3,14 × 2 × 5 = 31,4

Измерьте высоту цилиндра — в этом примере высота составляет 10 см. Площадь поверхности стороны 31,4 × 10 = 314см ² .

Общую площадь можно определить, сложив вместе площадь кругов и стороны:

157 + 314 = 471 см ²

Пример:
Радиус = 5 см
Длина наклона = 10 см

Конус

При расчете площади поверхности конуса вам необходимо использовать длину «склона», а также радиус основания.

Однако вычислить относительно просто:

Площадь круга у основания конуса равна π (пи) × радиус ² .

В этом примере сумма равна 3,14 × 5 ² = 3,14 × 25 = 78,5 см ²

Площадь боковой части, наклонного участка, можно найти по следующей формуле:

π (пи) × радиус × длина уклона.

В нашем примере сумма равна 3,14 × 5 × 10 = 157 см ² .

Наконец, добавьте площадь основания к боковой области, чтобы получить общую площадь поверхности конуса.

78,5 + 157 = 235,5 см ²

Теннисный мяч:
Диаметр = 2,6 дюйма

Сфера

Площадь поверхности сферы — это относительно простое разложение формулы для площади круга.

4 × π × радиус ² .

Для сферы часто проще измерить диаметр — расстояние по сфере. Затем вы можете найти радиус, равный половине диаметра.

Диаметр стандартного теннисного мяча 2.6 дюймов. Следовательно, радиус составляет 1,3 дюйма. Для формулы нам понадобится радиус в квадрате. 1,3 × 1,3 = 1,69.

Таким образом, площадь теннисного мяча составляет:

4 × 3,14 × 1,69 = 21,2264 дюйма ² .

Пример:
R (большой радиус) = 20 см
r (малый радиус) = 4 см

Тор

Чтобы вычислить площадь поверхности тора , вам нужно найти два значения радиуса.

Большой или большой радиус (R) измеряется от середины отверстия до середины кольца.

Малый или малый радиус (r) измеряется от середины кольца до внешнего края.

На схеме показаны два вида примера тора и способы измерения его радиусов (или радиусов).

Расчет площади поверхности состоит из двух частей (по одной для каждого радиуса). Расчет одинаков для каждой детали.

Формула: площадь поверхности = (2πR) (2πr)

Для определения площади поверхности примера тора.

(2 × π × R) = (2 × 3.14 × 20) = 125,6

(2 × π × r) = (2 × 3,14 × 4) = 25,12

Умножьте два ответа, чтобы найти общую площадь поверхности тора в примере.

125,6 × 25,12 = 3155,072 см ² .

Заполнение твердого тела: том

Для трехмерных фигур вам также может потребоваться знать, какой объем у них есть.

Другими словами, если вы наполните их водой или воздухом, сколько наполнения вам потребуется?

Это описано на нашей странице Расчет объема .

Трехмерное обучение | Стандарты науки нового поколения

Стандарт Национального исследовательского совета (NRC) описывает видение того, что значит быть профессиональным в науке; он основан на взгляде на науку как на совокупность знаний, так и на научно-обоснованное предприятие, строящее модели и теории, которое постоянно расширяет, уточняет и пересматривает знания. В нем представлены три измерения, которые будут объединены в каждый стандарт:

Параметр 1: Практики

Практики описывают поведение, которым занимаются ученые, когда они исследуют и строят модели и теории о мире природы, а также ключевой набор инженерных практик, которые инженеры используют при проектировании и создании моделей и систем.NRC использует термин «практика» вместо термина «навыки», чтобы подчеркнуть, что участие в научных исследованиях требует не только навыков, но и знаний, специфичных для каждой практики. Частично намерение NRC состоит в том, чтобы лучше объяснить и расширить то, что подразумевается под «исследованием» в науке, и диапазон когнитивных, социальных и физических практик, которые для этого требуются.

Хотя инженерное проектирование похоже на научное исследование, между ними есть существенные различия. Например, научное исследование включает в себя формулировку вопроса, на который можно ответить путем исследования, в то время как инженерное проектирование включает формулировку проблемы, которую можно решить с помощью дизайна.Усиление инженерных аспектов стандартов науки следующего поколения разъяснит учащимся важность науки, технологий, инженерии и математики (четыре области STEM) в повседневной жизни.

Измерение 2: пересекающиеся концепции

Пересекающиеся концепции применяются во всех областях науки. Таким образом, они представляют собой способ связать различные области науки. К ним относятся: модели, сходство и разнообразие; Причина и следствие; Масштаб, пропорции и количество; Системы и системные модели; Энергия и материя; Структура и функции; Стабильность и перемены.В Концепции подчеркивается, что эти концепции должны быть ясны для студентов, поскольку они обеспечивают организационную схему для взаимосвязи знаний из различных областей науки в последовательный и научно обоснованный взгляд на мир.

Измерение 3: основные дисциплинарные идеи

Дисциплинарные основные идеи могут сфокусировать научную программу K – 12, инструкции и оценки на наиболее важных аспектах науки. Чтобы считаться ключевыми, идеи должны соответствовать как минимум двум из следующих критериев, а в идеале всем четырем:

• Иметь широкое значение для множества наук или инженерных дисциплин или быть ключевой организационной концепцией одной дисциплины;
• Предоставьте ключевой инструмент для понимания или исследования более сложных идей и решения проблем;
• связаны с интересами и жизненным опытом учащихся или связаны с социальными или личными проблемами , которые требуют научных или технических знаний;
• Будьте обучаемыми и обучаемыми по нескольким классам с возрастающим уровнем глубины и сложности.

Дисциплинарные идеи сгруппированы в четыре области: физические науки; науки о жизни; науки о Земле и космосе; и инженерное дело, технология и прикладные науки.

Подробнее о трех измерениях в NRC Framework онлайн здесь.

Размер 1: Pract

_{1. Национальные академии, Совет по естественнонаучному образованию, Разработка концептуальной основы для новых стандартов естественнонаучного образования, часто задаваемые вопросы, стр.1.}

Практики описывают поведение, которым занимаются ученые при исследовании и построении моделей и теорий о мире природы, а также ключевой набор инженерных практик, которые инженеры используют при проектировании и создании моделей и систем. NRC использует термин «практика» вместо термина «навыки», чтобы подчеркнуть, что участие в научных исследованиях требует не только навыков, но и знаний, специфичных для каждой практики. Частично намерение NRC состоит в том, чтобы лучше объяснить и расширить то, что имеется в виду под «исследованием» в науке, а также диапазон когнитивных, социальных и физических практик, которые он имеет.

Хотя инженерное проектирование похоже на научное исследование, между ними есть существенные различия.Например, научное исследование включает в себя формулировку вопроса, на который можно ответить путем исследования, в то время как инженерное проектирование включает формулировку проблемы, которую можно решить с помощью дизайна. Усиление инженерных аспектов стандартов науки следующего поколения разъяснит учащимся важность науки, технологий, инженерии и математики (четыре области STEM) в повседневной жизни.

Размер 2: Поперечный

Сквозные концепции NRC находят применение во всех областях науки.По сути, они представляют собой способ связать различные области науки. К ним относятся: модели, сходство и разнообразие; Причина и следствие; Масштаб, пропорции и количество; Системы и системные модели; Энергия и материя; Форма и функция; Стабильность и перемены. В Концепции также подчеркивается, что эти концепции должны быть явными для студентов, поскольку они обеспечивают организационную схему для взаимосвязи знаний из различных областей науки в последовательный и научно обоснованный взгляд на работу

Измерение 3: основные дисциплинарные идеи

Основные дисциплинарные идеи позволяют сосредоточить научную программу K-12, обучение и оценки на наиболее важных аспектах науки.Чтобы считаться ключевыми, идеи должны соответствовать по крайней мере двум из следующих критериев, а в идеале всем четырем: иметь широкое значение во многих науках или инженерных дисциплинах или быть ключевым организационным принципом одной дисциплины; Предоставляет ключевой инструмент для понимания или исследования более сложных идей и решения проблем; Относиться к интересам и жизненному опыту студентов или быть связанным с общественными или личными проблемами, требующими научных или технических знаний; Быть обучаемым и обучаемым в нескольких классах на повышающемся уровне глубины и сложности .